Κοινωνία Οικονομία Πολιτική

Απλά μαθηματικά για την πανδημία: Οι ήπιες μεταλλάξεις και η ανοσία της αγέλης (Μέρος 2ο)

Έχοντας μπροστά μας να διανύσουμε αρκετή απόσταση μέχρι να μπορέσουμε να απαλλαγούμε, στο βαθμό που είναι εφικτό, από μια πανδημία που έχει στοιχίσει ως τώρα εκατομμύρια ζωές σε ολόκληρο τον κόσμο, ο τελικός απολογισμός συνολικά στην επίδραση στην δημόσια υγεία είναι δύσκολο να υπολογιστεί ακριβώς. Ήδη τα πρώτα στοιχεία που έρχονται στο φως μιλάνε για σημαντική αύξηση της συνολικής θνητότητας σε όλη την Ευρώπη ενώ είναι άγνωστο το ποσοστό των ανθρώπων με χρόνιες νόσους όπως ο διαβήτης, η υπέρταση, ακόμα και ο καρκίνος, που υποθεραπεύονται ως αποτέλεσμα της μεγάλης πίεσης που δέχονται τα συστήματα υγείας στις περισσότερες χώρες.

Η αίσθηση που καλλιεργείται πως σε αυτή τη φάση της πανδημίας έχουμε να αντιμετωπίσουμε μία μεταδοτικότερη αλλά ηπιότερη ως προς τα συμβάματα μετάλλαξη και επομένως βρισκόμαστε σε καλύτερη κατάσταση από πριν, δεν συμβαδίζει τα στοιχεία που καταγράφονται καθημερινά. Κάθε υπόνοια πως τα δύσκολα βρίσκονται πλέον πίσω μας είναι αντίθετη με την πραγματικότητα όπως αποτυπώνεται στους αριθμούς των κρουσμάτων, των νοσηλευόμενων και των θανάτων αλλά και στην ίδια τη φύση της μετάλλαξης Όμικρον που φαίνεται ότι επικρατεί. Πολύ περισσότερο όμως αποτυπώνεται στα μαθηματικά της πανδημίας που αρνούμαστε να κοιτάξουμε.

Ακόμα και η προσδοκία για την επίτευξη της “ανοσίας της αγέλης”, ένας όρος που ενοχλεί τόσο για τους συνειρμούς που επιφέρει, όσο και για τον απάνθρωπο χαρακτήρα των πολιτικών που εφαρμόζονται ελπίζοντας να οδηγήσουν σε αυτή, κάθε άλλο παρά θα σήμαινε το τέλος του εφιάλτη. Όλα αυτά φαίνονται πολύ ξεκάθαρα αν δούμε τα μεγέθη όπως αναλύονται από τους επιδημιολόγους, κατανοώντας ίσως καλύτερα ποια πληροφορία είναι σημαντική και ποια όχι. Η ανάλυση των στοιχείων που ακολουθεί δεν λαμβάνει υπόψη ένα Εθνικό Σύστημα Υγείας που βρίσκεται από καιρό στα όριά του, την κοινωνικές και οικονομικές επιπτώσεις από όσα έχουν γίνει τα τελευταία χρόνια. Άλλωστε δεν παρατίθενται καν στοιχεία σχετικά με τον Covid-19, παρόλο που τελικά ξεσκεπάζονται τα κυβερνητικά επικοινωνιακά αφηγήματα. Σε κάθε περίπτωση προστατευτείτε, εμβολιαστείτε και προστατέψτε τους ανθρώπους γύρω σας

Ο ρόλος της φυσικής επιλογής

Σε πείσμα της θρησκευτικής ιδεοληψίας, ο Δαρβίνος περιέγραψε με το έργο του την εξελικτική διαδικασία ως αποτέλεσμα εκείνου που αποκάλεσε “φυσική επιλογή” στη δράση της οποίας οφείλεται κατά κύριο λόγο η εξέλιξη. Η επιστημονική ανάπτυξη της βιολογίας και της γενετικής συμπλήρωσε τη σκέψη του Δαρβίνου καθώς με την ανακάλυψη του γενετικού υλικού (DNA και RNA), η φυσική επιλογή θεμελιώθηκε ως κεντρική και ενοποιητική θεωρία στη σύγχρονη βιολογία. Σύμφωνα λοιπόν με αυτή τη θεωρία τα άτομα που διαθέτουν χαρακτηριστικά που είναι ωφέλιμα για την επιβίωσή τους έχουν μεγαλύτερη πιθανότητα να αναπαραχθούν και να μεταβιβάσουν αυτά τα χαρακτηριστικά στους απογόνους τους. Τα χαρακτηριστικά αυτά μεταδίδονται μέσω της αντιγραφής του γενετικού υλικού. Το DNA (ή το RNA στην περίπτωση του κορονοϊού) κατά την αντιγραφή του κάνει “λάθη” που περνούν στην επόμενη γενιά. Αν τα “λάθη” αυτά βοηθούν στην επιβίωση τότε παραμένουν και διαιωνίζονται. Η εξελικτική αυτή διαδικασία είναι χρονοβόρα και χρειάζονται πολλές γενιές ώστε ένα τέτοιο χαρακτηριστικό να επικρατήσει και να θεωρηθεί πια ιδιαίτερο γνώρισμα ενός είδους.  

Όταν γίνονται μεταλλάξεις γονιδίων, τότε προκαλείται κάποια τυχαία βλάβη που ενδεχομένως να τροποποιήσει κάποια χαρακτηριστικά. Η φυσική επιλογή τότε, τείνει να διατηρήσει εκείνες τις μεταλλάξεις που παρά την τυχαία βλάβη εμφανίζουν μεγαλύτερη προσαρμοστικότητα με το περιβάλλον, τα χρήσιμα χαρακτηριστικά για την αναπαραγωγή και τη διατήρηση τους. Η ίδια αρχή διέπει και τις μεταλλάξεις ενός ιού. Κάθε ιός που μεταλλάσσεται αποκτά νέα χαρακτηριστικά σε σχέση με το περιβάλλον του, εμφανίζοντας συνεπώς καινούργιες ιδιότητες καθώς συνήθως επικρατούν εκείνες που σχετίζονται με την αυξημένη αναπαραγωγή και επιβίωσή του.

Η συζήτηση σχετικά με το ρόλο της φυσικής επιλογής αναφορικά με τις μεταλλάξεις του Covid-19 είναι ιδιαιτέρως επίκαιρη καθώς η φυσική επιλογή θα επέβαλε στις μεταλλάξεις του ιού κάποια χαρακτηριστικά που ενδεχομένως θα καθιστούσαν τη βαρύτητα της λοίμωξης λιγότερο επικίνδυνη για τον άνθρωπο, επιτρέποντας με αυτόν τον τρόπο στο ιό να επιβιώσει και να αναπαραχθεί περισσότερο καθώς δεν θα σκοτώνει τους φορείς του και θα έχει τον χρόνο για να αναπαραχθεί. Όμως, αυτή η εξέλιξη δεν θα σήμαινε απαραίτητα ότι θα μετατρεπόταν απαραίτητα σε μία απλή ακίνδυνη ίωση.

Οι “νόμοι” της διασποράς  

Η ανθρωπότητα δεν υιοθετούσε πάντα ορθολογικές μεθόδους για να κατανοήσει τις επιδημίες. Στο μεσαίωνα για παράδειγμα, θεωρούσαν ότι για τα ξεσπάσματα μιας επιδημίας ευθυνόταν η επίδραση των άστρων. Η λέξη influenza για την γρίπη άλλωστε σημαίνει στα ιταλικά επίδραση (influenza di stelle – επίδραση των αστεριών) και προέρχεται από εκείνες ακριβώς τις δοξασίες. Αυτό που είναι όμως γενικά αποδεκτό είναι πως κάθε επιδημία έχει συγκεκριμένες ιδιαιτερότητες και τα δεδομένα από προηγούμενες εμπειρίες δεν μπορούν να ταιριάξουν απόλυτα στην επόμενη.

Η κοινωνική πραγματικότητα, η κουλτούρα και οι πολιτικές αποφάσεις παίζουν κυρίαρχο ρόλο στην ίδια τη διάδοση μιας πανδημίας. Η Ισπανική Γρίπη δεν θα είχε εξαπλωθεί ενδεχομένως στον ίδιο βαθμό που εξαπλώθηκε εάν δεν υπήρχε τότε η μεγάλη κινητικότητα στρατιωτών από και προς τα μέτωπα του 1ου Παγκοσμίου Πολέμου και τις χώρες τους. Το ίδιο και η σημερινή πανδημία, θα ήταν εντελώς διαφορετική σε έναν κόσμο που δεν θα ήταν δυνατόν να ταξιδέψει κάποιος από το Λονδίνο στη Μελβούρνη σε λιγότερο από 24 ώρες. Ακριβώς με τον ίδιο τρόπο, η συνήθεια της προστατευτικής μάσκας σε χώρες όπως η Κίνα και η Ιαπωνία βοήθησαν εκεί στη μείωση της διασποράς ενώ στον υπόλοιπο κόσμο ακόμα συζητούσαμε για την αναγκαιότητά της, όπως και οι έγκαιρες ή όχι αποφάσεις για περιορισμούς στην κυκλοφορία όπου ανάλογα με την εφαρμογή τους από χώρα σε χώρα είχε αντίκτυπο σε κρούσματα, νοσηλείες και θανάτους. Οι παράμετροι που καθορίζουν τη μεταδοτικότητα και τη διασπορά ενός ιού είναι άμεσα συνδεδεμένοι με τις κοινωνικές και τεχνολογικές συνθήκες.  

H “ήπια” μετάλλαξη

Είναι επικίνδυνη η αντίληψη ότι μια νέα μετάλλαξη είναι ηπιότερη από τις προηγούμενες, ιδιαίτερα αν τελικά νοσούν και εμβολιασμένοι ή άτομα που είχαν νοσήσει στο παρελθόν και θα περιμέναμε επομένως να έχουν ανοσία. Είναι δεδομένο ότι τόσο όσοι έχουν εμβολιαστεί όσο και όσοι έχουν νοσήσει έχουν πολύ μικρότερες πιθανότητες να αναπτύξουν πολύ σοβαρά συμπτώματα. Προσμετρώντας λοιπόν ανάμεσα στα κρούσματα και εκείνα που δεν θα έχουν έντονα συμπτώματα λόγω της σχετικής ανοσίας ενδέχεται να παρουσιάζεται μια μετάλλαξη ως “ηπιότερη” καθώς ο συντελεστής που αποδίδει τις νοσηλείες, για να πάρουμε έναν αντικειμενικό δείκτη, έχει παρονομαστή έναν μεγάλο αριθμό κρουσμάτων που δεν αναμένεται να νοσήσουν με έντονα συμπτώματα και να χρειαστούν νοσηλεία.

Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε έναν πληθυσμό 100 ατόμων που νοσούν από μία μετάλλαξη που δεν προσβάλει όσους έχουν νοσήσει παλιότερα ή είναι εμβολιασμένοι. Αν έχουμε 15 άτομα που χρειάστηκε να νοσηλευτούν, το ποσοστό θα εκφράζεται με το κλάσμα 15/100, δηλαδή θα είχαμε σοβαρά συμπτώματα στο 15% των ασθενών. Αν θεωρήσουμε μια άλλη περίπτωση όπου κάποια μετάλλαξη προσβάλει και εμβολιασμένους ή και όσους νόσησαν παλιότερα και αν υποθέσουμε ότι οι 40 είναι από αυτή την κατηγορία και οι υπόλοιποι 60 από εκείνη που δεν αναμένεται να έχουν αναπτύξει κάποια σχετική ανοσία. Στην περίπτωση που είχαμε συνολικά 10 νοσηλείες θα ήταν λάθος να θεωρήσουμε ότι η μετάλλαξη αυτή είναι λιγότερο επικίνδυνη επειδή προκύπτει ότι το 10%  (10/100) θα νοσηλευτεί. Οι πληθυσμοί που συγκρίνουμε δεν είναι όμοιοι καθώς στη δεύτερη περίπτωση υπάρχει ένα 40% που δύσκολα θα χρειαστεί να νοσηλευτεί σε αντίθεση με την πρώτη όπου όλοι όσοι νοσούν έχουν τον ίδιο κίνδυνο επιπλοκών. Ο γενικός κανόνας είναι πως δεν μπορούμε να συγκρίνουμε ανόμοια πράγματα. Αυτή η ανομοιογένεια θα μεγαλώνει όσο θα υπάρχουν μεταλλάξεις, διαφορά φάσης στην εμβολιαστική κατάσταση του πληθυσμού μέσα στην ίδια χώρα ή και παγκοσμίως καθώς και διασπορά διαφορετικού εύρους.

Αξίζει να επανέλθουμε όμως και σε μία άλλη πτυχή που οδηγεί σε παρανόηση καθώς η αύξηση της μεταδοτικότητας είναι από μόνη της πιο επικίνδυνη και μπορεί να οδηγήσει σε περισσότερες απώλειες από ότι η αύξηση της θνητότητας μιας νόσου. Αν έχουμε έναν ιό με θνητότητα 0,8% και ρυθμό μετάδοσης 1,1 τότε για ένα διάστημα 6 ημερών και έχοντας 10.000 ανθρώπους που έχουν ήδη προσβληθεί, θα περιμέναμε 1,15 x0,008x 10.000 = 129 θανάτους. Τι θα συνέβαινε αν μια μετάλλαξη του ιού αύξανε την μεταδοτικότητα κατά 50%; Θα ήταν προτιμότερο αν είχαμε μια αύξηση της θνητότητας κατά 50%; Είναι προφανές ότι αν η μεταδοτικότητα αυξηθεί κατά 50% ο ρυθμός μετάδοσης θα γινόταν 1,65 ενώ στην περίπτωση που αυξανόταν η θνητότητα με τον ίδιο τρόπο, θα διαμορφωνόταν στο 1,2%. Οι αντίστοιχες πράξεις θα έδιναν μια διαφορετική εικόνα από εκείνη που ίσως να διαισθανόμαστε αρχικά: 193 θανάτους αν αυξηθεί η θνητότητα και 978 αν αυξηθεί η μεταδοτικότητα.

Η πιο ενδιαφέρουσα άσκηση όμως, για όποιον ακολουθεί αυτόν τον συλλογισμό, είναι η σχετική ταχύτητα με την οποία μεταβάλλονται αυτά τα χαρακτηριστικά. Ας δούμε το ίδιο μοντέλο τι αποτελέσματα θα μας έδινε αν παρουσιαζόταν μια ηπιότερη μετάλλαξη αναφορικά με τη θνητότητα, με αυξημένο όμως το ρυθμό μετάδοσης. Αν λοιπόν θεωρήσουμε πως έχουμε αύξηση της μεταδοτικότητας κατά 50%, δηλαδή από το 1,1 στο 1,65, κατά πόσο θα έπρεπε να είναι μειωμένη η θνητότητα ώστε μετά από 6 μέρες να έχουμε τα ίδια αποτελέσματα αναφορικά με τους θανάτους; Θα είχαμε τον ίδιο αριθμό θανάτων, δηλαδή 129 άτομα αν η θνητότητα από 0,8% έπεφτε στο 0,11%, δηλαδή μια αύξηση του ρυθμού μετάδοσης κατά 50% θα απαιτούσε μείωση της θνητότητας περισσότερο από 7 φορές κάτω. Πως θα ηχούσε όμως στα αυτιά μας μία μείωση της θνητότητας στο μισό; Οι 489 θάνατοι που θα είχαμε σε αυτή την περίπτωση είναι σχεδόν τετραπλάσιοι από όσους προβλέπονταν αρχικά. Η αύξηση του ρυθμού μετάδοσης χρειάζεται πολλαπλάσια μείωση της θνητότητας για να αντιρροπήσει την επίδραση, πολλώ δε μάλλον για να υπάρχει και συνολικά καλύτερη εξέλιξη. 

Η ανοσία της αγέλης

Το ζητούμενο σε κάθε επιδημία είναι να επιτευχθεί η ανοσία της αγέλης. Ο όρος αυτός, παρά τους αρνητικούς συνειρμούς, αποδίδεται στους πρώτους μελετητές που προσπαθήσαν να υπολογίσουν με μαθηματικά μοντέλα την εξάπλωση ενός φαινομένου, είτε αυτό ήταν μια νόσος είτε μια καταναλωτική συνήθεια, ακόμα και μία ιδέα. Δεν διαφέρουν σε τίποτα τα μοντέλα αυτά όταν προσπαθούν να εξηγήσουν και να προβλέψουν την έκβαση της διασποράς ενός ιού ή την αύξηση των πωλήσεων ενός καινούργιου κινητού. Η ανοσία της αγέλης δεν είναι κάποια αφηρημένη έννοια αλλά ορίζεται με πολύ συγκεκριμένο τρόπο καθώς θεωρούμε ότι έχει επιτευχθεί τη στιγμή εκείνη που ο δείκτης μετάδοσης, ο αριθμός δηλαδή των ατόμων στα οποία δυνητικά μεταδίδει τον ιό κάποιος που ήδη νοσεί, πέφτει κάτω από τη μονάδα. Αυτό όμως δεν θα σήμαινε ότι σε μια τέτοια περίπτωση ο ιός θα εξαφανιστεί άμεσα, όπως μπορούμε να δούμε παρακάτω.

Αν θεωρήσουμε ότι ένας άνθρωπος που νοσεί και κατά μέσο όρο θα μεταδώσει τον ιό σε R άτομα και κάθε ένα από αυτά σε άλλα R άτομα, άρα σε R2 άτομα και ούτω καθεξής, θα περιμένουμε ο αριθμός εκείνων που τελικά θα νοσήσουν να είναι το αποτέλεσμα του αθροίσματος:

1 + R + R2 + R3 + …..

Είναι εμφανές πως όταν αυτό το R είναι μεγαλύτερο από τη μονάδα, το άθροισμα αυτό μπορεί να ξεφύγει πάρα πολύ και χρειάζονται συγκεκριμένα μέτρα, ανάλογα με την περίσταση για να μειωθεί ο αριθμός R (μαζικοί εμβολιασμοί, μέτρα κοινωνικής αποστασιοποίησης, έλεγχος παθογόνων στοιχείων του περιβάλλοντος που ευνοούν τη μετάδοση κλπ). Στην ανοσία της αγέλης όμως όπου αυτό το R είναι μεταξύ 0 και 1, έρχεται να μας δώσει απάντηση ο Γερμανός μαθηματικός Karl Weierstrass στον οποίον αποδίδεται η απόδειξη πως στην περίπτωση που το R είναι μεταξύ 0 και 1 το παραπάνω άθροισμα συγκλίνει στο 1/(1-R), δίνοντάς μας τη δυνατότητα να μετρήσουμε ακριβώς τον αριθμό εκείνων που αναμένεται να μολυνθούν από ένα άτομο που νοσεί, αν έχει επιτευχθεί ανοσία της αγέλης. Ακόμα περισσότερο, αν νοσούν εκείνη τη στιγμή Κ άτομα, το γινόμενο Κ/(1-R) μας δίνει την πρόβλεψη για τον τελικό αριθμό κρουσμάτων .

Πρέπει πάντα να λαμβάνουμε υπόψη όμως και κάποιες σημαντικές συνθήκες. Αν το R πέσει κάτω από 1, παρουσία μέτρων προφύλαξης, αυτό δεν σημαίνει ότι θα παραμείνει σε αυτή την κατάσταση αν τα μέτρα αυτά αρχίσουν να αίρονται. Ακόμα όμως και σε αυτή την περίπτωση που παραμένει σε “αποδεκτά” επίπεδα ο αντίκτυπος στην αριθμό των νέων μολύνσεων παρουσιάζει σημαντικές διακυμάνσεις. Αν για παράδειγμα το R είναι ίσο με 0,5 τότε αναμένεται να νοσήσει 1 επιπλέον άτομο από κάθε έναν που ήδη νοσεί, θα είχαμε δηλαδή διπλασιασμό των συνολικών κρουσμάτων. Αντίστοιχα για R=0,7 δύο νέα κρούσματα θα αντιστοιχούσαν σε ένα υπάρχον, στο 0,8 θα είναι τέσσερα και στο 0,9 θα είναι εννιά. Τι σημαίνει όλο αυτό αν υπάρχουν ήδη πχ 45.000 κρούσματα όταν θα έχει επιτευχθεί η ανοσία της αγέλης; Για R=0,5 θα είχαμε τελικά 90.000 κρούσματα όμως αν το R ήταν 0,9 θα καταλήγαμε στα 450.000 κρούσματα! Για κάθε βήμα μεταξύ του 0,9 και του 1, ο αριθμός αυτός ανεβαίνει ακόμα πιο γρήγορα (πχ για R=0,92 θα προκύπταν 562.500 κρούσματα, για R=0,95 θα είχαμε 900.000, κ.ο.κ) καθιστώντας το στόχο της ανοσίας της αγέλης μια ουτοπία.     

Είναι σημαντικό να έχουμε υπόψη ότι όλα τα παραδείγματα που υπάρχουν παραπάνω δεν βασίζονται στα μεγέθη της τωρινής κατάστασης. Είναι τυχαία, αλλά καθιστούν πιο εύκολες ως προς την κατανόηση τις έννοιες που προαναφέρθηκαν. Άλλωστε τα δεδομένα που επεξεργάζονται οι επιδημιολόγοι αυτή τη στιγμή είναι πολύ περισσότερα καθώς πρέπει να λαμβάνονται υπόψη και άλλοι παράγοντες που εδώ για χάρη της απλούστευσης δεν συμπεριλήφθηκαν. Εκείνο που πρέπει να συγκρατήσουμε όμως είναι ότι σε κάθε περίπτωση, τίποτα δεν έχει τελειώσει, καμία κυβέρνηση δεν έχει νικήσει τον κορονοϊό, όσο και αν προσπάθησε να προωθήσει αυτή την αίσθηση. Κανείς δεν μπορεί με βεβαιότητα να δώσει ένα τέτοιο χρονοδιάγραμμα και αυτό ήταν γνωστό από την αρχή. Εκείνο που πρέπει να καταλάβουμε είναι ότι μόνο η δική μας συνεχής εγρήγορση θα μπορέσει να προστατεύσει τις ζωές μας. Και αυτό καθίσταται πολύ δύσκολο χωρίς καμία στήριξη από το κράτος.

 

(Επισκέψεις: 2.056 φορές, όπου 1 ημερήσιες)

Σχετικά Άρθρα

Ημεροδρόμος

Ημεροδρόμος

Send this to a friend